श्रेणी 1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2( | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = 1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ है।विषम और सम पदों को अलग करने पर:$S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots +

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$m(2m+1)^2$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = 1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ है।विषम और सम पदों को अलग करने पर:$S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$.$S = \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$.$S = \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$.$S = 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$S = 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$.$S = 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$.$S = m [2(m+1)(2m+1) - 2(m+1) + 1]$.$S = m [4m^2 + 4m + 1] = m(2m+1)^2$.

श्रेणी $1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ का योग क्या है?

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यदि $x = \sum_{n = 0}^\infty a^n$,$y = \sum_{n = 0}^\infty b^n$,और $z = \sum_{n = 0}^\infty (ab)^n$,जहाँ $a, b < 1$ है,तो:

श्रेणी $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \dots$ के $9$ पदों का योग क्या है?

यदि $a, b, c, d, e, f$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $e - c$ का मान क्या होगा?

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